АНАЛИЗ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ, ОСНОВАННЫХ НА ТОЧНОМ И ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ РИМАНА

Рассматривается задача Римана о распаде одномерного произвольного разрыва параметров нестационарного газового потока в приложении к построению численных методов типа Годунова. Задача решается в точной и приближенной постановке (разностная схема Ошера–Соломона, используемая в численных методах сквозного счета): определяются интенсивности (отношения статических давлений) и перепады скорости потока на сторонах образующихся разрывов и волн, после чего рассчитываются остальные параметры во всех областях течения. Выполнено сравнение результатов расчетов модельных течений с использованием точных и приближенных решений. Введено понятие скоростной функции. Исследована зависимость скоростной функции от интенсивности разрыва. Выявлена особая интенсивность, при которой изоэнтропическая волна создает такой же скоростной напор, как и ударная волна. В окрестности этой особой интенсивности приближенные методы дают наиболее высокую точность. Путем выполнения тестовых расчетов определена область применимости приближенного решения Ошера–Соломона, результаты представлены в виде, удобном для использования в численных методах. Результаты работы могут быть применены для численных методов высокого порядка точности. 

1. Handbook of Shock Waves. Eds. G. Ben-Dor, D. Igra, T. Elperin. NY: Academic Press, 2001. 824 p

. 2. Усков В.Н. Бегущие одномерные волны. СПб.: БГТУ «Военмех», 2000. 220 с.

3. Архипова Л.П., Усков В.Н. Универсальное решение задачи об отражении одномерных бегущих волн от твердой стенки и его анализ для волн уплотнения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 2013. № 2. C. 77–81.

4. Архипова Л.П. Скоростная функция интенсивности одномерной нестационарной волны и ее анализ для волн уплотнения // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королева. 2012. № 3–1(34). C. 57–62.

5. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. 1959. Т. 47. № 8–9. C. 271–306.

6. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н. Численное решение многомерных задач га- зовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

7. Gel'fand B.E., Sil'nikov M.V., Mikhailin A.I., Orlov A.V. Attenuation of blast overpressures from liquid in an elastic shell // Combustion, Explosion and Shock Waves. 2001. V. 37. N 5. P. 607–612.

8. Silnikov M.V., Mikhaylin A.I. Protection of flying vehicles against blast loads // Acta Astronautica. 2014. V. 97. N 1. P. 30–37. doi: 10.1016/j.actaastro.2013.12.012

9. Osher S., Solomon F. Upwind difference schemes for hyperbolic conservation laws // Mathematics of Computation. 1982. V. 38. N 158. P. 339–374. doi: 10.1090/S0025-5718-1982-0645656-0

10. Волков К.Н. Применение и реализация разностных схем высокой разрешающей способности для ре- шения задач газовой динамики на неструктурированных сетках // Научно-технический вестник ин- формационных технологий, механики и оптики. 2014. № 6 (94). С. 153–162.

11. Kulikovskii A.G., Pogorelov N.V., Semenov A.Yu. Mathematical Aspects of Numerical Solution of Hyperbolic Systems. Chapman & Hall/CRC Press, 2001. 560 p.

12. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно- разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. 1972. Т. 3. № 6. С. 68–77.

13. Sod G.A. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics. 1978. V. 27. N 1. P. 1–31. doi: 10.1016/0021-9991(78)90023-2

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License