УДК517.984.7

РАСШИРЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ НА ПРИМЕРЕ ОПЕРАТОРА ДИРАКА

Бойцев А. А., Нейдхардт Х. , Попов И. Ю.


Читать статью полностью 

Аннотация

Рассмотрен способ расширения оператора, представляющего сумму тензорных произведений. Применен подход граничных троек. Один из операторов предполагается плотно заданным симметрическим оператором с равными индексами дефекта, а второй – ограниченным и самосопряженным. Для построения самосопряженных расширений рассматриваемого оператора строится граничная тройка, берущая за основу граничную тройку симметрического оператора. По граничной тройке симметрического оператора строятся гамма-поле и функция Вейля. Выражения, связывающие гамма-поле и функцию Вейля симметрического оператора с гамма-полем и функцией Вейля рассматриваемого оператора, позволяют использовать обобщенную резольвентную формулу Крейна для получения всех самосопряженных расширений и в данном случае. Теоретические результаты применяются к конкретному, с физической точки важному оператору – оператору Дирака. Для оператора Дирака построена граничная тройка, а также отвечающие ей гамма-поле и функция Вейля. С помощью формулы Крейна получены самосопряженные расширения. Полученные результаты могут быть использованы для корректного описания взаимодействия квантовых систем.


Ключевые слова: метод граничных троек, оператор Дирака, самосопряженные расширения

Список литературы
1.     Крейн М.Г., Лангер Г.К. Дефектные подпространства и обобщенные резольвенты в пространстве // Функциональный анализ и его приложения. 1971. № 3. С. 54–69.
2.     Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука,1969. 528 с.
3.     Baumgartel H., Wollenberg M. Mathematical scattering theory. Berlin: Academie-Verlag, 1983.
4.     Derkach V.A., Malamud M.M. On the Weyl function and Hermite operators with lacunae // Dokl. Ak. Nauk USSR. 1987. V. 293. N 5. P. 1041–1046.
5.     Derkach V.A., Malamud M.M. Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps // Journal of Functional Analysis. 1991. V. 95. N 1. P. 1–95.
6.     Derkach V.A., Malamud M.M. The extension theory of Hermitian operators and the moment problem // Journal of Mathematical Sciences. 1995. V. 73. N 2. P. 141–242.
7.     Gorbachuk V.I., Gorbachuk M.L. Boundary value problems for operator differential equations. Kluwer, Dordrecht, 1990. 364 p.
8.     Malamud M.M. Some classes of extensions of a Hermitian operator with lacunae // Ukraine Mat. Zh. 1992. V. 44. N 2. P. 215–233.
9.     Malamud M.M., Neidhardt H. Sturm-liouville boundary value problems with operator potentials and unitary equivalence // Journal of Differential Equations. 2012. V. 252. N 11. P. 5875–5922.
10.  Smudgen K. Unbounded self-adjoint operators on Hilbert space. Springer, 2012. 432 p.
11.  Malamud M.M., Malamud S.M. Spectral theory of operator measures in a Hilbert space // Algebra i analiz. 2003. V. 15. N 3. P. 1–77.
12.  Gorbachuk M.L. Self-adjoint boundary problems for a second-order differential equation with unbounded operator coefficient // Functional Analysis and Its Applications. 1971. V. 5. N 1.  P. 9–18.
13.  Birman M.S. Existence conditions for wave operators // Izv. Akad. Nauk SSSR. 1963. N 27. P. 883–906.
14.  Маламуд М.М., Найдхардт Х. О теоремах Като-Розенблюма и Вейля-неймана // Доклады Академии Наук. 2010. Т. 432. № 2. С. 162–166.
15.  Boitsev A.A., Neidhardt H., Popov I.Yu. Weyl function for sum of operators tensor product // Nanosystems: physics, chemistry, mathematics. 2013. V. 4. N 6. P. 747–759.
Информация 2001-2017 ©
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики.
Все права защищены.

Яндекс.Метрика