ЭТАЛОННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СТОКСА С ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТЬЮ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ АЛГОРИТМОВ

Рассматриваются стоксовы течения жидкости в областях со сферической и цилиндрической формой границы. Подобный выбор параметров системы является естественным при моделировании течений в задачах геофизики. Выводятся аналитические решения уравнений Стокса и неразрывности для частных случаев зависимости вязкости и плотности от цилиндрических координат. Данные решения задают класс осесимметричных течений, для которых вязкость является функцией радиуса. Выводятся аналитические решения уравнений Стокса и неразрывности в сферической системе координат для частного случая сферически симметричной вязкости. В работе показано, как на основе данных эталонных решений могут быть построены тестовые задачи для оценки качества работы численных алгоритмов. Приведены примеры тестирования многосеточных методов численного решения уравнений Стокса с переменной вязкостью в цилиндрической и сферической системе координат. Преимуществом данного подхода к использованию эталонных решений является возможность тестировать численные алгоритмы при различных перепадах вязкости и плотности. В работе предложена численная схема для многосеточного метода решения уравнений Стокса с переменной вязкостью в сферической системе координат. При построении решения используется последовательность ортогональных смещенных сеток. Качество численной схемы было проверено путем сравнения численного решения с аналитическим решением тестовой задачи.

1. Gerya T. Introduction to Numerical Geodynamic Modeling. Cambridge, Cambridge University Press, 2010. 358 p.
2. Ismail-Zadeh A., Tackley P. Computational Methods for Geodynamics. Cambridge, Cambridge University Press, 2010. 313 p.
3. Deubelbeiss Y., Kaus B.J. Comparison of Eulerian and Lagrangian numerical techniques for the Stokes equa-tions in the presence of strongly varying viscosity // Physics of Earth Planetary Interiors. 2008. V. 171. N 1–4. P. 92–111. doi: 10.1016/j.pepi.2008.06.023
4. Duretz T., May D.A., Gerya T.V., Tackley P.J. Discretization errors and free surface stabilization in the finite-difference and marker-in-cell method for applied geodynamics: a numerical study // Geochemistry, Geophysics, Geosystems. 2008. V. 12. N 7. Art. Q07004. doi: 10.1029/2011GC003567
5. Blankenbach B., Busse F. et al. A benchmark comparison for mantle convection code // Geophysical Journal International. 1989. V. 98. N 1. P. 23–38.
6. Busse F.H., Christensen U., Clever R., Cserepes L., Gable C., Giannandrea E., Duillou L., Houseman G. et al. 3D convection at infinite Prandtl number in Cartesian geometry – a benchmark comparison // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 1993. V. 75. P. 39–59. doi: 10.1080/03091929408203646
7. Popov A.I., Lobanov I.S., Popov I.Yu., Gerya T.V. Benchmark solutions for nanoflows // Nanosystems: Phys-ics, Chemistry, Mathematics. 2014. V. 5. P. 391–399.
8. Popov I.Yu., Lobanov I.S., Popov S.I., Popov A.I., Gerya T.V. Practical analytical solutions for benchmarking of 2-D and 3-D geodynamic Stokes problems with variable viscosity // Solid Earth. 2014. V. 5. N 1. P. 461–476. doi: 10.5194/se-5-461-2014
9. Tosl N., Stein C., Noack L., Huttig C., Maierova P., Samuel H., Davies D.R., Wilson C.R., Kramer S.C., Thieulot C., Glerum A., Fraters M., Spakman W., Rozel A., Tackey P.J. A community benchmark for viscoplastic thermal convection in a 2-D square box // Geochemistry, Geophysics, Geosystems. 2015. V. 16. N 7. P. 2175–2196. doi: 10.1002/2015GC005807.
10. Popov A.I., Gerya T.V., Lobanov I.S., Popov I.Yu. On the Stokes flow computation algorithm based on Woodbury formula // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2015. V. 6. P. 140–145. doi: 10.17586/2220-8054-2015-6-1-140-145
11. Tackley P. Modelling compressible mantle convection with large viscosity contrasts in a three-dimensional spherical shell using the yin-yang grid // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2008. V. 171. N 1–4. P. 7–18. doi: 10.1016/j.pepi.2008.08.005
12. van Keken P.E., Currie C., King S.D., Behn M., Cagnioncle A., He J., Katz R.F., Lin S.-C., Parmentier E.M., Spiegelman M., Wang K. A community benchmark for subduction zone modeling // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2008. V. 171. P. 187–197. doi: 10.1016/j.pepi.2008.04.015
13. Brenner S.C. A nonconforming multigrid method for the stationary stokes equations // Mathematics of Com-putation. 1990. V. 55. P. 411–437. doi: 10.1090/S0025-5718-1990-1035927-5
14. Kang K., Kwak D., Yon Y. The analysis of multigrid method for nonconforming method for the stationary stokes equations // Bulletin of the Korean Mathematical Society. 1996. V. 33. N 3. P. 343–357.
15. John V., Tobiska L. A coupled multigrid method for nonconforming finite element discretizations of the 2D-stokes equation // Computing. 2000. V. 64. N 4. P. 307–332.
16. Wang M., Chen L. Multigrid methods for the stokes equations using distributive Gauss-Seidel relaxations based on the least squares commutator // Journal of Scientific Computing. 2013. V. 56. N 2. P. 409–431. doi: 10.1007/s10915-013-9684-1
 

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License