МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦЕПОЧЕК РЕЗОНАТОРОВ В ПРИСУТСТВИИ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Предмет исследования. Рассмотрена спектральная задача для цепочек слабосвязанных шарообразных резонаторов при воздействии внешнего магнитного поля. Изучены две базовых геометрии цепочек, состоящих из идентичных резонаторов: цепочка с однократным изломом и цепочка с симметричным разветвлением. Вектор индукции магнитного поля направлен перпендикулярно плоскости, содержащей центры формирующих цепочку резонаторов. В точках сочленения резонаторов приложен дельтаобразный потенциал с одинаковой для всех таких точек интенсивностью. Метод. Математическая модель цепочки резонаторов, взаимодействующих друг с другом посредством одной точки, построена на основе теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Сопряженное расширение в работе описано с помощью модификации формул Неймана. Части рассматриваемых систем обладают периодичностью, а сама модель построена таким образом, что метод трансфер-матриц, приспособленный для решения одномерных задач, может быть применен для получения спектра модельного гамильтониана. Основные результаты. Для обеих цепочек аналитически описана структура спектра: получены уравнения и неравенства, позволяющие найти зоны непрерывного спектра, а также значения энергий, относящиеся к дискретному спектру. Проведено численное моделирование, наглядно показывающее структуру непрерывного спектра рассматриваемых систем в зависимости от параметров модели. Практическая значимость. Так как модель имеет довольно большое количество варьируемых параметров, она может быть использована для построения реальных систем, обладающих определенными спектральными свойствами. Рассмотренные в работе геометрии являются базовыми элементами, на основе которых можно конструировать более сложные системы.

1. Wang Y., Zhang H.J., Lu L., Stubbs L.P., Wong C.C., Lin J. Designed functional systems from peapod-like co@carbon to Co₃O₄@carbon nanocomposites // ACS Nano. 2010. V. 4. N 8. P. 4753–4761. doi: 10.1021/nn1004183
2. Yang Y., Li L., Li W. Plasmon absorption of Au-in-CoAl₂O₄ linear nanopeapod chains // Journal of Physical Chemistry C. 2013. V. 117. N 27. P. 14142–14148. doi: 10.1021/jp403150h
3. Duclos P., Exner P., Turek O. On the spectrum of a bent chain graph // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2008. V. 41. N 41. Art. 415206. doi: 10.1088/1751-8113/41/41/415206
4. Popov I.Yu., Smirnov P.S. Spectral problem for branching chain quantum graph // Physics Letters A. 2013. V. 377. N 6.
   P. 439–442. doi: 10.1016/j.physleta.2012.12.021
5. Popov I.Y., Skorynina A.N., Blinova I.V. On the existence of point spectrum for branching strips quantum graph // Journal of Mathematical Physics. 1992. V. 55. N 3. P. 3794–3801. doi: 10.1063/1.4867604
6. Exner P., Lipovsky J. Non-Weyl resonance asymptotics for quantum graphs in a magnetic field // Physics Letters A. 2011. V. 375. N 4. P. 805–807. doi: 10.1016/j.physleta.2010.12.042
7. Blinova I.V., Melikhova A.S., Popov I.Yu. Periodic chain of resonators: gap control and geometry of the system // Journal of Physics: Conference Series. 2016. V. 735. N 1. Art. 012062. doi: 10.1088/1742-6596/735/1/012062
8. Eremin D.A., Ivanov D., Popov I.Y. Model of tunneling through nanosphere in a magnetic field // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. 2012. V. 44. N 7-8. P. 1598–1601. doi: 10.1016/j.physe.2012.04.002
9. Melikhova A.S., Popov I.Y. Bent and branched chains of nanoresonators // Journal of Physics: Conference Series. 2014. V. 541. N 1. Art. 012061. doi: 10.1088/1742-6596/541/1/012061
10. Melikhova A.S., Popov I.Y. Spectral problem for solvable model of bent nano peapod // Applicable Analysis. 2017. V. 96. N 2. P. 215–224. doi: 10.1080/00036811.2015.1120289
11. Melikhova A.S. Zigzag chain model and its spectrum // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2017. V. 8. N 2. P. 188–193. doi: 10.17586/2220-8054-2017-8-2-188-193
12. Павлов Б.С. Теория расширений и явнорешаемые модели // УМН. 1987. Т. 42. № 6. С. 99–131.
13. Popov I.Y., Kurasov P.A., Naboko S.N. et al. A distinguished mathematical physicist Boris S. Pavlov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2016. V. 7. N 5. P. 782–788. doi: 10.17586/2220-8054-2016-7-5-782-788
14. Popov I.Yu. The resonator with narrow slit and the model based on the operator extensions theory // Journal of Mathematical Physics. 1992. V. 33. N 11. P. 3794–3801.
15. Popov I.Yu., Popova S.L. Zero-width slit model and resonances in mesoscopic systems // Europhysics Letters. 1993. V. 24. N 5. P. 373–377. doi: 10.1209/0295-5075/24/5/009
16. Альбеверио С.А. и др. Решаемые модели в квантовой механике. М., 1991. 568 с.
17. Багмутов А.С., Попов И.Ю. Вольт-амперные характеристики для двух систем квантовых волноводов с присоединенными квантовыми резонаторами // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 4. С. 725–730. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-4-725-730
18. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. 1. Москва: Мир, 1979. 458 с.
19. Sanchez-Soto L.L., Monzon J.J., Barriuso A.J., Carinena J.F. The transfer matrix: a geometrical perspective // Physics Reports. 2012. V. 513. N 4. P. 191–227. doi: 10.1016/j.physrep.2011.10.002

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License