МЕТОДЫ БИФУРКАЦИОННОГО И РЕКУРРЕНТНОГО АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПРИМЕРЕ МЕМРИСТИВНОЙ ЦЕПИ

Бутусов Д.Н., Кобызев Н.П., Пестерев Д.О., Тутуева А.В., Рыбин В.Г. Методы бифуркационного и рекуррентного анализа нелинейных динамических систем на примере мемристивной цепи // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2019. Т. 19. № 1. С. 126–133. doi: 10.17586/2226-1494-2019-19-1-126-133

Рассмотрены алгоритмы анализа компьютерных моделей электрических цепей с перспективными нелинейными элементами. Выполнено экспериментальное сравнение четырех методов построения двухпараметрических бифуркационных диаграмм – метода на основе гистограммы максимальных значений временной области, метода на основе оценки ядерной плотности, метода скользящего среднего и алгоритма построения рекуррентных диаграмм, основанного на методе кластеризации. Для экспериментальной части работы выбрана модель простой мемристивной цепи с многовитковым аттрактором, обладающей хаотическим поведением. Представлены алгоритмы анализа хаотических систем, основанные на комплексировании подходов бифуркационного и рекуррентного анализа с методами математической статистики. Приведены способ построения двухпараметрических бифуркационных диаграмм высокого разрешения, основанный на методе скользящего среднего, и способ построения рекуррентных диаграмм, основанный на методе кластеризации. Исследована вычислительная эффективность численных методов интегрирования, используемых при синтезе дискретных моделей моделируемой цепи. С помощью графика эффективности выбран оптимальный решатель обыкновенных дифференциальных уравнений – экстраполяционный алгоритм восьмого порядка алгебраической точности на основе симметричного полуявного опорного метода. Экспериментально показано, что метод скользящего среднего обеспечивает наиболее точное построение двухпараметрических бифуркационных диаграмм. Практическая значимость результатов работы обусловлена потребностью в высокоточных инструментах моделирования схем с перспективными нелинейными элементами. Область применения полученных результатов не ограничена моделированием электронных схем. Так, предложенные методы могут быть использованы для решения задачи поиска скрытых аттракторов в хаотических динамических системах.
 

1. Wang G., Cui M., Cai B., Wang X., Hu T. A chaotic oscillator based on HP memristor model // Mathematical Problems in Engineering. 2015. Art. 561901. doi: 10.1155/2015/561901
2. Muthuswamy B., Chua L.O. Simplest chaotic circuit // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2010. V. 20. N 5. P. 1567–1580. doi: 10.1142/s0218127410027076
3. Homouz D., Abid Z., Mohammad B., Halawani Y., Jacobson M. Memristors for digital, memory and neuromorphic circuits // Proc. 25th IEEE Int. Conf. on Microelectronics (ICM). Beirut, Lebanon, 2013. doi: 10.1109/icm.2013.6734970
4. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert–Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2013. V. 23. N 1. doi: 10.1142/s0218127413300024
5. Hu X., Liu Ch., Liu L., Yao Y. Multi-scroll hidden attractors and multiwing hidden attractors in a 5-dimensional memristive system // Chinese Physics B. 2017. V. 26. N 11. Art. 110502. doi: 10.1088/1674-1056/26/11/110502
6. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Berlin: Springer, 1993. 539 p. doi: 10.1007/978-3-540-78862-1
7. Schneider C. Analysis of the linearly implicit mid-point rule for differential-algebraic equations // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 1993. N 1. P. 1–10.
8. Бутусов Д.Н., Каримов А.И., Андреев В.С. Компьютерное моделирование хаотических систем симметричными экстраполяционными методами // Сборник докладов XVIII Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (SCM-2015). Санкт-Петербург, 2015. Т. 1. С. 225–229.
9. Бутусов Д.Н., Андреев В.С., Пестерев Д.О. Композиционные полунеявные методы моделирования хаотических систем // Сборник докладов XIX Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (SCM-2016). Санкт-Петербург, 2016. Т. 1. С. 339–342.
10. Бутусов Д.Н., Тутуева А.В., Пестерев Д.О., Островский В.Ю. Исследование хаотических генераторов псевдослучайных последовательностей на основе решателей ОДУ // Программные системы и вычислительные методы. 2017. № 4. С. 61–76. doi: 10.7256/2454-0714.2017.4.24786
11. Бутусов Д.Н., Федоров М.О., Чернышов А.А., Тутуева А.В., Рыбин В.Г. Исследование системы Декуана Ли с использованием полуявных методов интегрирования // Сборник докладов XXI Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (SCM-2018). Санкт-Петербург, 2018. Т. 1. С. 607–610.Бутусов Д.Н., Островский В.Ю., Тутуева А.В., Савельев А.О. Сравнение алгоритмов мультипараметрического бифуркационного анализа // Сборник докладов XX Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (SCM-2017). Санкт-Петербург, 2017. Т. 1. С. 396–399.
13. Poincaré H. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique // Acta Mathematica. 1890. V. 13. N 1-2.
14. Eckmann J.P., Kamphorst S.O., Ruelle D. Recurrence plots of dynamical systems // Europhysics Letters. 1987. V. 4. N 9. P. 973–977. doi: 10.1209/0295-5075/4/9/004
15. Marwan N., Romano M.C., Thiel M., Kurths J. Recurrence plots for the analysis of complex systems // Physics Reports. 2007. V. 438. N 5-6. P. 237–329. doi: 10.1016/j.physrep.2006.11.001

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License