ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 

Предмет исследования. Предложен метод осреднения уравнений движения. В различных разделах физики (механика, электродинамика и др.), а также при рассмотрении вибрационных процессов возникает необходимость осреднения имеющихся уравнений движения по некоторому масштабу времени. Чаще всего требуется рассмотреть процессы в масштабе реального времени и исключить высокочастотные колебания. При этом процедура осреднения приводит к тому, что уравнения движения для «медленного» времени существенно меняют свой вид. Использование обычного среднего арифметического – в равной степени всех значений времени в заданном интервале — не позволяет решить задачу определения явного вида новых уравнений движения в масштабе «медленного» времени. Метод. Для процедуры осреднения предложено использовать интегральное преобразование с гладким нормированным ядром. В качестве ядра выбрана функция Гаусса, позволяющая эффективно «обрезать» высокие частоты и обладающая удобными алгебраическими свойствами. Построенный на этих свойствах алгебраический подход позволяет эффективно решать задачу осреднения — построение системы осредненных по некоторому масштабу уравнений. Основные результаты. Показано, что в результате осреднения по некоторому малому масштабу времени появляются дополнительные слагаемые, зависящие от этого масштаба. Если в исходной системе уравнений движения отсутствуют скорости, то в новой осредненной системе появляются дополнительные слагаемые, зависящие не только от координат, но и от скоростей. Это позволяет объяснить природу диссипативных сил. При этом в построенном алгебраическом решении осреднения уравнения сохраняют первоначальный вид. Практическая значимость. Предлагаемый метод может быть применен к любой системе дифференциальных уравнений, в которой необходимо получить сглаженные решения. В частности, областью применения предложенного метода является механика деформируемого твердого тела и вибрационная механика.

1. Пальмов В.А. Нелинейная механика деформируемых тел: учебное пособие. СПб: Изд-во Политехнического университета, 2014. 793 с.
2. Cosserat E., Cosserat F. Theory des corps deformables. Paris: Hermann, 1909. 226 p.
3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 435 с.
4. Миндлин Р.Д. Микроструктуры в линейной упругости // Механика: Сборник переводов. 1964. Т. 86. № 4. С. 129–160.
5. Green A.E., Rivlin R.S. Multipolar continuum mechanics // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1964. V. 17. N 2. P. 133–147. doi: 10.1007/BF00253051
6. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. М.: Наука, 1975. 416 с.
7. Блехман И.И. Теория вибрационных процессов и устройств. Вибрационная механика и вибрационная техника. СПб.: Издательский дом «Руда и металлы», 2013. 640 с.
8. Ivanov K.S., Vaisberg L.A. New modelling and calculation methods for vibrating screens and separators // Lecture Notes in Mechanical Engineering. 2015. V. 22. P. 55–61. doi: 10.1007/978-3-319-15684-2_8
9. Demidov I.V., Vaisberg L.A., Blekhman I.I. Vibrational dynamics of paramagnetic particles and processes of separation of granular materials // International Journal of Engineering Science. 2019. V. 141. P. 141–156. doi: 10.1016/j.ijengsci.2019.05.002
10. Микусинский Я. Операторное исчисление. М.: Издательство иностранной литературы, 1956. 366 с.
11. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975. 407 с.
12. Головина В.В. Моделирование и прогнозирование деформационных свойств полимерных текстильных материалов: диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. СПб., 2013. 168 с.
13. Рымкевич П.П. Введение в теорию распространения свойств // Труды XXVII летней международной школы «Анализ и синтез нелинейной механики колебательных систем». СПб, 2000. С. 455–497.
14. Горшков А.С., Макаров А.Г., Рымкевич О.В., Рымкевич П.П. Математическое моделирование процессов нестационарной теплопроводности через многослойные изделия текстильной и швейной промышленности // Дизайн. Материалы. Технология. 2010. № 4. С. 116–118.
15. Рымкевич П.П., Горшков А.С. Теория переноса. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2015. 120 с.
16. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 621 с.
17. Фейнман Р.П. Об операторном исчислении, имеющем приложение в квантовой электродинамике // Проблемы современной физики. 1955. Т. 3. С. 37–79.
18. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991. 365 с.
19. Карасев М.В. О вейлевском и упорядоченном исчислении некоммутирующих операторов // Математические заметки. 1979. Т. 26. № 6. С. 885–907.
20. Маслов В.П. Применение метода упорядоченных операторов для получения точных решений // Теоретическая и математическая физика. 1977. Т. 33. № 2. С. 185–209.
21. Березин Ф.А. Квантование // Известия АН СССР. Серия математическая. 1974. Т. 38. № 5. С. 1116–1175.
22. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 430 с.
 

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License