УДК517.984.7

РАСШИРЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ НА ПРИМЕРЕ ОПЕРАТОРА ДИРАКА

Бойцев А.А., Нейдхардт Х., Попов И.Ю.


Читать статью полностью 

Аннотация

Рассмотрен способ расширения оператора, представляющего сумму тензорных произведений. Применен подход граничных троек. Один из операторов предполагается плотно заданным симметрическим оператором с равными индексами дефекта, а второй – ограниченным и самосопряженным. Для построения самосопряженных расширений рассматриваемого оператора строится граничная тройка, берущая за основу граничную тройку симметрического оператора. По граничной тройке симметрического оператора строятся гамма-поле и функция Вейля. Выражения, связывающие гамма-поле и функцию Вейля симметрического оператора с гамма-полем и функцией Вейля рассматриваемого оператора, позволяют использовать обобщенную резольвентную формулу Крейна для получения всех самосопряженных расширений и в данном случае. Теоретические результаты применяются к конкретному, с физической точки важному оператору – оператору Дирака. Для оператора Дирака построена граничная тройка, а также отвечающие ей гамма-поле и функция Вейля. С помощью формулы Крейна получены самосопряженные расширения. Полученные результаты могут быть использованы для корректного описания взаимодействия квантовых систем.


Ключевые слова: метод граничных троек, оператор Дирака, самосопряженные расширения

Список литературы
1.     Крейн М.Г., Лангер Г.К. Дефектные подпространства и обобщенные резольвенты в пространстве // Функциональный анализ и его приложения. 1971. № 3. С. 54–69.
2.     Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука,1969. 528 с.
3.     Baumgartel H., Wollenberg M. Mathematical scattering theory. Berlin: Academie-Verlag, 1983.
4.     Derkach V.A., Malamud M.M. On the Weyl function and Hermite operators with lacunae // Dokl. Ak. Nauk USSR. 1987. V. 293. N 5. P. 1041–1046.
5.     Derkach V.A., Malamud M.M. Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps // Journal of Functional Analysis. 1991. V. 95. N 1. P. 1–95.
6.     Derkach V.A., Malamud M.M. The extension theory of Hermitian operators and the moment problem // Journal of Mathematical Sciences. 1995. V. 73. N 2. P. 141–242.
7.     Gorbachuk V.I., Gorbachuk M.L. Boundary value problems for operator differential equations. Kluwer, Dordrecht, 1990. 364 p.
8.     Malamud M.M. Some classes of extensions of a Hermitian operator with lacunae // Ukraine Mat. Zh. 1992. V. 44. N 2. P. 215–233.
9.     Malamud M.M., Neidhardt H. Sturm-liouville boundary value problems with operator potentials and unitary equivalence // Journal of Differential Equations. 2012. V. 252. N 11. P. 5875–5922.
10.  Smudgen K. Unbounded self-adjoint operators on Hilbert space. Springer, 2012. 432 p.
11.  Malamud M.M., Malamud S.M. Spectral theory of operator measures in a Hilbert space // Algebra i analiz. 2003. V. 15. N 3. P. 1–77.
12.  Gorbachuk M.L. Self-adjoint boundary problems for a second-order differential equation with unbounded operator coefficient // Functional Analysis and Its Applications. 1971. V. 5. N 1.  P. 9–18.
13.  Birman M.S. Existence conditions for wave operators // Izv. Akad. Nauk SSSR. 1963. N 27. P. 883–906.
14.  Маламуд М.М., Найдхардт Х. О теоремах Като-Розенблюма и Вейля-неймана // Доклады Академии Наук. 2010. Т. 432. № 2. С. 162–166.
15.  Boitsev A.A., Neidhardt H., Popov I.Yu. Weyl function for sum of operators tensor product // Nanosystems: physics, chemistry, mathematics. 2013. V. 4. N 6. P. 747–759.


Creative Commons License

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License
Информация 2001-2019 ©
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики.
Все права защищены.

Яндекс.Метрика