ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

Рассматривается математическая модель динамической системы с одной степенью свободы, представленная в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными частями в форме многочленов с постоянными и периодическими коэффициентами. Представлен модифицированный метод для исследования автоколебаний нелинейных механических систем. Авторами разработан уточненный метод преобразования и интегрирования уравнения, основанный на методе нормализации Пуанкаре–Дюлака. Уточнение метода заключается в учете нелинейных членов высших порядков методом экономизации Чебышева, что улучшает точность результатов вычислений. Выполняется аппроксимация остаточных членов высших порядков однородными формами меньших порядков, в рассмотренном случае кубическими формами. В качестве примера рассмотрено применение модифицированного метода для уравнения Ван-дер-Поля и получены выражения для амплитуды и фазы автоколебаний в аналитическом виде. Выполнено сравнение решения уравнения Ван-дер-Поля, найденного разработанным методом, с точным решением численным методом Рунге–Кутта. Погрешность решения модифицированным методом в два раза меньше и составляет 1%, что показывает применимость разработанного метода для исследования автоколебаний нелинейных динамических систем с постоянными и периодическими параметрами. 

1. Blanchard P., Devaney R.L., Hall G.R. Differential Equations. 2nd ed. Brooks Cole, 2011. 864 p.

2. Warminski J., Lenci S., Cartmell M.P., Rega G., Wiercigroch M. Nonlinear Dynamic Phenomena in Mechanics. Berlin: Springer-Verlag, 2012. 276 p.

3. Teschl G. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, 2012. V. 140. 356 p.

4. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. СПб.: Лань, 2010. 400 с. РИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.

5. Gesztesy F., Holden H., Michor J., Gerald T. Soliton Equations and their Algebro-Geometric Solutions. Cambridge University Press, 2008. V. 2. 438 p

. 6. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машино- строение, 1975. 198 с.

7. Иванов С.Е., Мельников Г.И. Автономизация нелинейных динамических систем // Научно- технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2014. № 1 (89). С. 151–156.

8. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.: Лань, 2011. 304 с.

9. Melnikov V.G. Chebyshev economization in transformations of nonlinear systems with polynomial structure // Proc. 14th WSEAS Int. Conf. on Systems. Corfu Island, Greece, 2010. V. 1. P. 301–303.

10. Мельников В.Г. Многочленные преобразования нелинейных систем управления // Изв. вузов. Прибо- ростроение. 2007. Т. 50. № 5. С. 20–25.

11. Мельников В.Г., Мельников Г.И., Иванов С.Е. Компьютерные технологии в механике приборных систем: Учебное пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2006. 127 с.

12. Иванов С.Е. Алгоритмическая реализация метода исследования нелинейных динамических систем // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 4 (80). С. 90–92.

13. Мельников В.Г. Преобразование динамических многочленных систем с применением аппроксимации Чебышева // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 4 (80). С. 85–90.

14. Melnikov V.G. Chebyshev economization in Poincare-Dulac transformations of nonlinear systems // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 2005. V. 63. N 5–7. P. e1351–e1355. doi: 10.1016/j.na.2005.01.080

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License