НИКИФОРОВ
Владимир Олегович
д.т.н., профессор
doi: 10.17586/2226-1494-2015-15-5-916-920
УДК 517.958
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЯДА
Читать статью полностью
Ссылка для цитирования: Попов А.И. Исследование разрешимости задачи Штурма–Лиувилля при построении асимптотического ряда // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Т. 15. № 5. С. 916–920.
Аннотация
Предмет исследования. Построение асимптотических разложений решений уравнений в частных производных с малым параметром сводится обычно к последовательному решению цепочки задач Штурма–Лиувилля. Чтобы найти некоторый член ряда, необходимо решить неоднородную краевую задачу с источником на оси цилиндра. При этом соответствующая однородная задача имеет нетривиальное решение. Потому возникает содержательный вопрос о реализуемости предложенного способа построения. Настоящая работа посвящена построению таких асимптотических разложений. Метод. Для доказательства необходимого условия используется обычная техника интегрирования всего уравнения и использования граничных условий. Для доказательства достаточного условия строится подходящая задача Коши (которая всегда разрешима) и анализируется ее решение. Мы имеем дело с общим случаем формальных степенных рядов и не делаем предположений об их сходимости. Основной результат. В работе доказаны необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи Штурма–Лиувилля для общего случая формальных степенных рядов. Как частный случай общего результата, полученный результат остается верен, если заменить формальные степенные ряды функциями. Практическая значимость. Результат может найти применение при построении решений уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений в форме формальных степенных рядов. Результат является общим и применим к частным случаям таких рядов, например, к асимптотическим рядам или функциям (сходящимся степенным рядам).
Благодарности. Работа выполнена при частичной поддержке Правительства Российской Федерации (грант 074-U01), Минобрнауки РФ (Госзадание 2014/190, Проекты 14.Z50.31.0031 и 1.754.2014/K), а также гранта Президента РФ MK-5001.2015.1.
Список литературы
1. Brannan J.R., Boyce W.E. Differential Equations with Boundary Value Problems: An Introduction to Modern Methods and Applications. 2nd ed. NY: John Wiley and Sons, 2010. 992 p.
2. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988. 431 с.
3. Kong L., Kong Q. Second-order boundary value problems with nonhomogeneous boundary conditions (II) // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2007. V. 330. N 2. P. 1393–1411. doi: 10.1016/j.jmaa.2006.08.064
4. Jodar L. Explicit solution for non homogeneous Sturm-Liouville operator problems // Publicacions Matematiques. 1989. V. 33. N 1. P. 47–57.
5. Pokornyi Yu.V., Pryadiev V.L. Some problems of the qualitative Sturm-Liouville theory on a spatial network // Russian Mathematical Surveys. 2004. V. 59. N 3. P. 515–552. doi: 10.1070/RM2004v059n03ABEH000738
6. Popov I.Yu., Lobanov I.S., Popov S.I., Popov A.I., Gerya T.V. Practical analytical solutions for benchmarking of 2-D and 3-D geodynamic Stokes problems with variable viscosity // Solid Earth. 2014. V. 5. N 1. P. 461– 476. doi: 10.5194/se-5-461-2014
7. Gerya T., Lobanov I.S., Popov A.I., Popov I.Yu. Numerical approach to the Stokes problem with high contrasts in viscosity // Applied Mathematics and Computation. 2014. V. 235. P. 17–25. doi: 10.1016/j.amc.2014.02.084
8. Popov A.I., Lobanov I.S., Popov I.Yu., Gerya T.V. Benchmark solutions for nanoflows // Nanosystems: Phys. Chem. Math. 2014. V. 5. N 3. P. 391–399.
9. Popov A.I., Lobanov I.S., Popov I.Yu., Gerya T.V. On the Stokes flow computation algorithm based on Woodbury formula // Nanosystems: Phys. Chem. Math. 2015. V. 6. N 1. P. 140–145. doi: 10.17586/2220- 8054-2015-6-1-140-145
10. Babich V.M. The space-time ray method and quasiphotons // Journal of Mathematical Sciences. 2008. V. 148. N 5. P. 633–638. doi: 10.1007/s10958-008-0013-4
11. Babich V.M. Formal power series and their applications in the mathematical theory of diffraction // Journal of Mathematical Sciences. 2013. V. 194. N 1. P. 1–7. doi: 10.1007/s10958-013-1500-9
12. Pankratova T.F. Tunneling in multidimensional wells // Nanosystems: Phys. Chem. Math. 2015. V. 6. N 1. P. 113–121. doi: 10.17586/2220-8054-2015-6-1-113-121
13. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu. Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics // Annals of Physics. 1996. V. 246. N 2. P. 231–290. doi: 10.1006/aphy.1996.0027
14. Babich V.M., Popov A.I. Quasiphotons of waves on the surface of a heavy liquid // Journal of Mathematical Sciences. 2011. V. 173. N 3. P. 243–253. doi: 10.1007/s10958-011-0247-4
15. Popov A.I. Wave walls for waves on the surface of a heavy liquid // Journal of Mathematical Sciences. 2013. V. 194. N 1. P. 83–97. doi: 10.1007/s10958-013-1509-0
