МАТРИЧНО-ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТОМОГРАФИЧЕСКОМ СКАНИРОВАНИИ ПРОСТРАНСТВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ СТАНЦИИ

 Предложен новый метод решения системы линейных алгебраических уравнений, названный матрично-итерационным. Метод получен при анализе решения задачи томографического сканирования пространства и является  одним из методов многоканальной томографии, которую разрабатывает автор. Практически все методы многоканальной томографии сводятся к восстановлению искомого распределения некоторой физической величины с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений, часто недоопределенной. Искомое распределение представляется вектором-оригиналом. В томографическом сканировании восстанавливается распределение мощностей точечных источников излучения по сектору обзора. Эта задача диктует определенные априорные данные, которые позволили разработать новый метод решения системы линейных уравнений: большинство компонент искомого вектора равны фоновому значению, например нулевому, а бо́льшие значения представляют собой d-образные разреженные выбросы. Получающееся в рассматриваемой задаче векторно-матричное уравнение, идентичное системе уравнений, является недоопределенным и часто включает матрицу неполного ранга или плохо обусловленную матрицу. В отличие от известных методов решения такого уравнения при частичной априорной информации о восстанавливаемом векторе, матрично-итерационный метод не предполагает никакого его преобразования, предшествующего решению. Этот метод прост в реализации и не содержит таких неоднозначных величин, как, например, параметр регуляризации. По сути своей – это программный метод, достаточно просто реализуемый. Альтернативным вариантом решения системы уравнений без предварительного ее преобразования является метод псевдообращения, для реализации которого априорная информация вообще не нужна и который дает либо решение с минимальной нормой (если система совместна), либо решение, обеспечивающее минимальное квадратическое отклонение. Этот метод послужил основой матрично-итерационного метода, являясь, в частности, первой его итерацией. На последующих итерациях из матрицы системы исключаются столбцы, соответствующие тем значениям решения, получившегося на предыдущей итерации, которые выявляются как фоновые. Повторяется процесс псевдообратных решений с изменяющейся матрицей до тех пор, пока все получившиеся значения не окажутся превышающими фоновый уровень. Матрично-итерационный метод позволяет получить практически точное решение в случае, если вектор-оригинал входит в бесчисленное множество решений системы уравнений. Если же вектор-оригинал, из-за отклонений параметров задачи, не входит в число решений, то и в этом случае матрично-итерационный метод дает достаточно хороший результат, что позволяет говорить о его устойчивости.

 1.      Самойленко М.В. Обработка сигналов в задачах локационных измерений и оценивания. М.: Спектр, 2016. 260 с.

2.      Самойленко М.В. Способ определений направлений на источники излучения и углового разрешения источников. Патент № 2392634. Бюл. № 17 от 20.06.2010.

3.      Кирьянов Д.В., Кирьянова Е.Н. Вычислительная физика. М.: Полибук Мультимедиа, 2006. 352 с.

4.      Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // Докл. АНСССР. 1965. Т. 163. № 6. С. 591-595.

5.      Севастьянов Л.А., Ловецкий К.П., Ланеев Е.Б. Регулярные методы и алгоритмы расчета обратных задач в моделях оптических структур. М.: РУДН, 2008. 155 с.

6.      Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 3-е изд. М.: Наука, 1986. 288 с.

7.      Butler J.P., Reeds J.A., Dawson S.V. Estimating solutions of first kind integral equations with nonnegative constraints and optimal smoothing // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1981. V. 18.N 3.P. 410-421.doi: 10.1137/0718025

8.      Антюфеев В.С. Регуляризация решения системы линейных алгебраических уравнений методом максимального правдоподобия // Сибирский журнал вычислительной математики. 2013. Т. 16. № 3. С. 217-228.

9.      Турчин В.Ф., Козлов В.Л., Малкевич С.М. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач // УФН. 1970. Т. 102. С. 345-386. doi: 10.3367/UFNr.0102.197011a.0345

10.   Mosegaard K., Tarantola A. Monte Carlo sampling of solutions to inverse problem // Journal of Geophysical Research. 1995. V. 100. N B7. P. 12431-12447.

11.   Мицель А.А., Воскобойников Ю.Е. Современные проблемы прикладной математики. Часть 1. Лекционный курс. Томск, ТУСУР, 2015. 136 с.

12.   Воскобойников Ю.Е., Втюрин К.А., Литасов В.А. Дескриптивный алгоритм восстановления входных сигналов оптических систем // Автометрия. 2005. Т. 41. № 3. С. 3–10.

13.   Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993. 264 с.

14.   Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.: Наука, 1988. 552 с.

Самойленко В.И., Пузырев В.А., Грубрин И.В. Техническая кибернетика: Учеб. пособие. М.: МАИ, 1994. 280 с

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License