УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОЙ ПЛЕНКИ НА ПОВЕРХНОСТИ СЛАБО НАКЛОНЕННОГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО ЦИЛИНДРА

 Предмет исследования.Рассмотрена задача о динамике пленки вязкой жидкости на поверхности вращающегося цилиндра. Целью работы является анализ устойчивости системы при малых наклонах оси цилиндра к вертикали. Проанализирована устойчивость пленки на поверхности строго вертикального цилиндра, исследована динамика пленки при периодическом во времени малом отклонении барабана от вертикальной оси. Методы. В исходные уравнения Навье–Стокса, описывающие динамику вязких жидкостей, введен малый параметр – отношение толщины слоя жидкости к радиусу цилиндра. Благодаря этому оказалось возможным применение асимптотических методов, что позволяет вывести упрощенное уравнение толщины пленки. Полученное уравнение является нелинейным уравнением в частных производных и в общем виде не может быть разрешено аналитически. Для исследования его решения применена теория возмущений. Проведен линейный анализ устойчивости однородной пленки на поверхности вертикального цилиндра, а также изучен отклик на периодическое во времени возмущение угла наклона цилиндра. Основные результаты. Показано, что в случае строго вертикального цилиндра силы поверхностного натяжения влекут неустойчивость осесимметричных возмущений с длиной волны больше критической. Найденное значение критической длины волны возмущения пропорционально радиусу цилиндра. Для случая колебаний оси цилиндра около вертикали показано, что возникает слой жидкости неравномерной толщины с диаметрально противоположными утолщением и утоньшением. Продемонстрирована возможность резонанса при совпадении частоты колебаний оси цилиндра с частотой его вращения. Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы для лучшего понимания и последующего совершенствования существующих технологических процессов.

1. Moffat H.K. Behaviour of a viscous film on the outer surface of a rotating cylinder // Journal de Mecanique. 1977. V. 16. N 5. P. 651–673.
2. Пухначев В.В. Движение жидкой пленки на поверхности вращающегося цилиндра в поле тяжести // Прикладная механика и техническая физика. 1977. Т. 18. № 3. С. 78–88.
3. Макеев И.В., Попов И.Ю., Блинова И.В. Эталонные решения уравнений Стокса с переменной вязкостью в цилиндрических и сферических координатах для тестирования алгоритмов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 1. С. 161–167. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-1-161-167
4. Duffy B., Wilson. S. Thin-film and curtain flows on the outside of a rotating horizontal cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 1999. V. 394. P. 29–49.
5. Evans P.L., Schwartz L.W., Roy R.V. Steady and unsteady solutions for coating flow on a rotating horizontal cylinder: two-dimensional theoretical and numerical modeling // Physics of Fluids. 2004. V. 16. P. 2742–2756. doi: 10.1063/1.1758943
6. Evans P.L., Schwartz L.W., Roy R.V. Three-dimensional solutions for coating flow on a rotating horizontal cylinder: theory and experiment // Physics of Fluids. 2005. V. 17. N 7. doi: 10.1063/1.1942523
7. Soliman M.A., Alhumaizi K. Dynamics of a coating film flow on horizontal cylinders with van der Waals forces // Mathematical and Computer Modelling. 2013. V. 57. N 11-12. P. 2984–2997. doi: 10.1016/j.mcm.2013.03.006
8. Aggarwal H., Tiwari N. Generalized linear stability of non-inertial rimming flow in a rotating horizontal cylinder // European Physical Journal E. 2015. V. 38. N 10. 11 p. doi: 10.1140/epje/i2015-15111-7
9. Leslie G., Wilson S., Duffy B. Three-dimensional coating and rimming flow: a ring of fluid on a rotating horizontal cylinder // Journal of Fluid Mechanics. 2013. V. 716. P. 51–82. doi: 10.1017/jfm.2012.509
10. Roskes G.J. Three-dimensional long waves on a liquid film // Physics of Fluids. 1970. V. 13. N 6. P. 1440–1445.
11. Lin S.P., Krishna M.V.G. Stability of a liquid film with respect to initially finite three-dimensional disturbances // Physics of Fluids. 1977. V. 20. N 12. P. 2005–2011.
12. Joo S.W., Davis S.H. Instabilities of three-dimensional viscous falling films // Journal of Fluid Mechanics. 1992. V. 242. P. 529–549. doi: 10.1017/S0022112092002489
13. Reynolds O. On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp tower’s experiments, including an experimental determination of the viscosity of olive oil // Proc. Royal Society of London. 1886. V. 177. P. 157–234. doi: 10.1098/rstl.1886.0005
14. Oron A., Davis S.H., Bankoff S.G. Long-scale evolution of thin liquid films // Reviews of Modern Physics. 1997. V. 69. N 3. P. 931–980.
15. Craster R.V., Matar O.K. Dynamics and stability of thin liquid films // Reviews of Modern Physics. 2009. V. 81. N 3. P. 1131–1198.doi: 10.1103/RevModPhys.81.1131
16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License