Меню
Публикации
2024
2023
2022
2021
2020
2019
2018
2017
2016
2015
2014
2013
2012
2011
2010
2009
2008
2007
2006
2005
2004
2003
2002
2001
Главный редактор
НИКИФОРОВ
Владимир Олегович
д.т.н., профессор
Партнеры
doi: 10.17586/2226-1494-2022-22-1-179-186
УДК 621.319.7.001.5
Математическая модель эпидемии с произвольным законом восстановления
Читать статью полностью
Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования:
Аннотация
Ссылка для цитирования:
Сёменов В.К., Иванова Н.Б. Математическая модель эпидемии с произвольным законом восстановления // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2022. Т. 22, № 1. С. 179–186. doi: 10.17586/2226-1494-2022-22-1-179-186
Аннотация
Предмет исследования. В работе предложена математическая модель процесса эпидемии, учитывающая зависимость интенсивностей излечения и потери иммунитета от времени. На сегодняшний день большое распространение получили математические модели эпидемий, основанные на базовой модели Кермака–Маккендрика. Среди них наиболее известны модели «Восприимчивые–инфицированные–выздоровевшие» (Susceptible-Infected-Recovered, SIR) и «Восприимчивые–контактные–инфицированные–выздоровевшие» (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered, SEIR). Основу данных моделей составляет разбиение населения на отдельные группы, находящиеся в разных эпидемических состояниях. В основу описания моделей положены дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям рождения и гибели в процессе радиоактивных превращений элементов в радиоактивной цепочке. Однако подобный подход не учитывает зависимость вероятностей перехода населения из группы в группу от времени пребывания в процессе лечения и в процессе утрачивания приобретенного иммунитета. Известные модели не предусматривают анализ характера протекания эпидемии для больших промежутков времени, когда процесс может войти в стационарное состояние. Метод. В работе предложена математическая модель, которая основана на разбиении населения на отдельные группы. Первую группу составляют здоровые люди, подверженные инфицированию вследствие контакта с членами второй группы, в которую включается инфицированное население. Члены третьей группы находятся на лечении, к четвертой группе относятся переболевшие члены общества с антителами и привитые. Пятую группу составляют умершие члены общества. В отличие от SIR и SEIR моделей в предложенном подходе учтено, что с течением времени иммунитет утрачивается, и выжившие люди снова переходят в группу подверженных инфицированию. Учтены зависимости вероятностей перехода населения из группы в группу от времени пребывания как в процессе лечения, так и в процессе утрачивания приобретенного иммунитета. Таким образом, предложенная математическая модель основана на пяти интегро-дифференциальных уравнениях, два из которых являются уравнениями в частных производных. Основные результаты. Сформулирована новая математическая модель, позволяющая учитывать зависимость интенсивности излечения и вероятности перехода из вакцинированного состояния в исходное от времени нахождения в соответствующем состоянии. Показано, что предложенная модель носит автокаталитический характер. При увеличении времени наблюдается состояние бистабильности, когда при одних и тех же граничных условиях сосуществуют два стабильных состояния. Переключение между состояниями определяется найденным в работе управляющим параметром распространения эпидемии. Одно из стабильных состояний — стационарное и приводит к окончанию эпидемии, второе — к вымиранию популяции. Показано, что для стационарного режима вид функции распределения по времени лечения и времени выдержки в вакцинированном состоянии никак не сказывается на окончательном результате. Сформулированы условия подавления эпидемии для управления процессом ее развития. Проведены численные эксперименты по симуляции процесса распространения эпидемии с учетом постоянства всех переходных вероятностей. Интегрирование исходной системы уравнений осуществлено с использованием алгоритма Radaus для жестких дифференциальных уравнений. Результаты численного моделирования подтвердили соответствие экспериментальных данных теории управляющего параметра. Практическая значимость. Результаты работы могут применяться для организации управления процессом распространения эпидемии с целью ее скорейшего подавления за счет изменения значения управляющего параметра.
Ключевые слова: эпидемия, математическая модель, плотность распределения по времени восстановления, бистабильное состояние, управляющий параметр, условия подавления
Список литературы
Список литературы
1. Кольцова Э.М., Куркина Е.С., Васецкий А.М. Математическое моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в Москве // Computational nanotechnology. 2020. Т. 7. № 1. С. 99–105. https://doi.org/10.33693/2313-223X-2020-7-1-99-105
2. Getz W.M., Dougherty E.R. Discrete stochastic analogs of Erlang epidemic models // Journal of Biological Dynamics. 2018. V. 12. N 1. P. 16–38. https://doi.org/10.1080/17513758.2017.1401677
3. Verity R., Okell L.C., Dorigatti I., Winskill P., Whittaker C., Imai N., Cuomo-Dannenburg G., Thompson H., Walker P.G.T., Fu H., Dighe A., Griffin J.T., Baguelin M., Bhatia S., Boonyasiri A., Cori A., Cucunubá Z., FitzJohn R., Gaythorpe K., Green W., Hamlet A., Laydon D., Nedjati-Gilani G., Riley S., van Elsland S., Volz E., Wang H., Wang Y., Xi X., Donnelly C.A., Ghani A.C., Ferguson N.M. Estimates of the severity of coronavirus disease 2019: a model-based analysis // The Lancet Infectious Diseases. 2020. V. 20. N 6. P. 669–677. https://doi.org/10.1016/S1473-3099(20)30243-7
4. Kucharski A.J., Russell T.W., Diamond C., Liu Y., Edmunds J., Funk S., Eggo R.M., Sun F., Jit M., Munday J.D., Davies N., Gimma A., van Zandvoort K., Gibbs H., Hellewell J., Jarvis C.I., Clifford S., Quilty B.J., Bosse N.I., Abbott S., Klepac P., Flasche S. Early dynamics of transmission and control of COVID-19: a mathematical modelling study // The Lancet Infectious Diseases. 2020. V. 20. N 5. P. 553–558. https://doi.org/10.1016/S1473-3099(20)30144-4
5. Li R., Pei S., Chen B., Song Y., Zhang T., Yang W., Shaman J. Substantial undocumented infection facilitates the rapid dissemination of novel coronavirus (SARS-CoV-2) // Science. 2020. V. 368. N 6490. P. 489–493. https://doi.org/10.1126/science.abb3221
6. Liu Y., Gayle A.A., Wilder-Smith A., Rocklöv J. The reproductive number of COVID-19 is higher compared to SARS coronavirus // Journal of Travel Medicine. 2020. V. 27. N 2. P. taaa021. https://doi.org/10.1093/jtm/taaa021
7. Singh S., Parmar K.S., Kumar J., Makkhan S.J.S. Development of new hybrid model of discrete wavelet decomposition and autoregressive integrated moving average (ARIMA) models in application to one month forecast the casualties cases of COVID-19 // Chaos, Solitons & Fractals. 2020. V. 135. P. 109866. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.109866
8. Chakraborty T., Ghosh I. Real-time forecasts and risk assessment of novel coronavirus (COVID-19) cases: A data-driven analysis // Chaos, Solitons & Fractals. 2020. V. 135. P. 109850. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.109850
9. Srivastava A., Prasanna V.K. Learning to forecast and forecasting to learn from the COVID-19 pandemic. 2020 [Электронный ресурс]. URL: https://arxiv.org/pdf/2004.11372.pdf, свободный. Яз. англ. (дата обращения: 01.12.2021).
10. Perone G. ARIMA forecasting of COVID-19 incidence in Italy, Russia, and the USA. 2020 [Электронный ресурс]. URL: https://arxiv.org/pdf/2006.01754.pdf, свободный. Яз. англ. (дата обращения: 01.12.2021).
11. Трубецков Д.И. Феномен математической модели Лотки-Вольтерры и сходных с ней // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19. № 2. С. 69–88. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2011-19-2-69-88
12. Томчин Д.А., Фрадков А.Л. Прогнозирование распространения вируса COVID-19 в России на основе простых математических моделей эпидемий. 2020. [Электронный ресурс]. URL: http://onr-russia.ru/sites/default/files/tf20-5.pdf, свободный. Яз. рус. (дата обращения: 01.11.2021).
13. Криворотько О.И., Кабанихин С.И., Зятьков Н.Ю., Приходько А., Прохошин Н., Шишленин М.А. Математическое моделирование и прогнозирование COVID-19 в Москве и Новосибирской области // Сибирский журнал вычислительной математики. 2020. Т. 23. № 4. С. 395–414. https://doi.org/10.15372/SJNM20200404
14. Ed Fontes. Моделирование в Comsol Multiphisics ® распространения вируса Covid-19. 2020 [Электронный ресурс]. URL: https://www.comsol.ru/blogs/modeling-the-spread-of-covid-19-with-comsol-multiphysics/, свободный. (дата обращения: 01.11.2021).
15. Weiss H. The SIR model and the Foundations of Public Health // MATerials MATemàtics. 2013. V. 2013. N 3. P. 17 [Электронный ресурс]. URL: https://mat.uab.cat/matmat_antiga/PDFv2013/v2013n03.pdf, свободный. Яз. англ. (дата обращения: 01.11.2021).
16. Barmparis G.D., Tsironis G.P. Estimating the infection horizon of COVID-19 in eight countries with a data-driven approach // Chaos, Solitons & Fractals. 2020. V. 135. P. 109842. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.109842
17. Teles P. A time-dependent SEIR model to analyse the evolution of the SARS-CoV-2 epidemic outbreak in Portugal. 2020 [Электронный ресурс]. URL: https://arxiv.org/pdf/2004.04735.pdf, свободный. Яз. англ. (дата обращения: 01.12.2021).
