doi: 10.17586/2226-1494-2022-22-4-674-680


УДК 004.021

Построение криптографических схем, основанных на эллиптических кривых над рациональными числами

Давыдов В.В., Дакуо Ж.Н., Иогансон И.Д., Хуцаева А.Ф.


Читать статью полностью 
Язык статьи - русский

Ссылка для цитирования:
Давыдов В.В., Дакуо Ж.-М.Н., Иогансон И.Д., Хуцаева А.Ф. Построение криптографических схем, основанных на эллиптических кривых над рациональными числами // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2022. Т. 22, № 4. С. 674–680. doi: 10.17586/2226-1494-2022-22-4-674-680


Аннотация
Предмет исследования. Исследована возможность использования в криптографических схемах эллиптических кривых над полем рациональных чисел ненулевого ранга. Метод. Впервые предложено построение криптосистем, безопасность которых основана на сложности решения математической задачи о рюкзаке на эллиптических кривых над рациональными числами ненулевых рангов. Основные результаты. Описан новый подход использования эллиптических кривых для криптографических схем. Выполнен ряд экспериментов для оценки поведения высот точек эллиптических кривых бесконечного порядка. Представлена модель криптосистемы, стойкой к вычислениям на квантовом компьютере и основанной на использовании рациональных точек кривой бесконечного порядка. Проведено исследование криптографической стойкости и эффективности предлагаемой схемы. Реализована атака на поиск секрета в криптосистеме, показано, что сложность атаки экспоненциальна. Практическая значимость. Рассмотренное решение может быть применено при построении реальных криптографических схем и протоколов.

Ключевые слова: эллиптические кривые, рациональные числа, ранг кривых, асимметричное шифрование, задача о рюкзаке

Благодарности. Работа выполнена при поддержке программы «Приоритет 2030».

Список литературы
  1. Koblitz N., Menezes A., Vanstone S. The state of elliptic curve cryptography // Designs, Codes and Cryptography. 2000. V. 19. N 2-3. P. 173–193. https://doi.org/10.1023/A:1008354106356
  2. Koblitz N. Elliptic curve cryptosystems // Mathematics of Computation. 1987. V. 48. N 177. P. 203–209. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1987-0866109-5
  3. Washington L.C. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. Chapman and Hall/CRC, 2008. 536 p.
  4. Silverman J.H. The Arithmetic of Elliptic Curves. New York: Springer, 2009. 513 p. (Graduate Texts in Mathematics; V. 106).
  5. Mordell L. On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degree // Proceedings Cambridge Philosophical Society. 1922. V. 21. P. 179–192.
  6. Weil A. L'arithmétique sur les courbes algébriques // Acta Mathematica. 1929. V. 52. N 1. P. 281–315. https://doi.org/10.1007/BF02592688
  7. Silverman J.H. Heights and elliptic curves // Arithmetic Geometry. New York, NY: Springer, 1986. P. 253–265. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8655-1_10
  8. Klagsbrun Z., Sherman T., Weigandt J. The Elkies curve has rank 28 subject only to GRH // Mathematics of Computation. 2019. V. 88. N 316. P. 837–846. https://doi.org/10.1090/mcom/3348
  9. Menezes A.J., Van Oorschot P.C., Vanstone S.A. Handbook of Applied Cryptography. CRC press, 2018. 810 p.
  10. Danzig T. Numbers: The Language of Science. Revised. Now York: Macmillan, 1933.
  11. Mathews G.B. On the partition of numbers // Proceedings of the London Mathematical Society. 1896. V. 1. N 1. P. 486–490. https://doi.org/10.1112/plms/s1-28.1.486
  12. Diffie W., Hellman M. New directions in cryptography // IEEE Transactions on Information Theory. 1976. V. 22. N 6. P. 644–654. https://doi.org/10.1109/TIT.1976.1055638
  13. Noro K., Kobayashi K. Knapsack cryptosystem on elliptic curves // Cryptology ePrint Archive. 2009. P. 2009/091.
  14. Mazur B., Goldfeld D. Rational isogenies of prime degree // Inventiones Mathematicae. 1978. V. 44. N 2. P. 129–162. https://doi.org/10.1007/BF01390348
  15. Lozano-Robledo Á. Elliptic curves, modular forms, and their L-functions // The Student Mathematical Library. 2011. V. 58. http://dx.doi.org/10.1090/stml/058


Creative Commons License

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License
Информация 2001-2022 ©
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики.
Все права защищены.

Яндекс.Метрика