ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦ МЕРСЕННА И АДАМАРА МЕТОДОМ СКАРПИ

Постановка проблемы. Основные обобщения матриц Адамара связывают с матрицами максимального детерминанта или с не оптимальными по детерминанту матрицами с ортогональными столбцами (взвешенные матрицы, матрицы Мерсенна, Эйлера и т.п.); способы вычисления квазиортогональных матриц Мерсенна локального максимума детерминанта изучены недостаточно полно. Целью работы является развитие теории матриц Мерсенна и Адамара изучением обобщенного метода Скарпи.
Методы. Экстремальные решения ищутся, в общем, минимизацией максимума абсолютных значений элементов исследуемых матриц с последующей классификацией их по количеству и значениям уровней, зависящих от порядков. Менее универсальные, но более эффективные методы опираются на структурные инварианты квазиортогональных матриц (методы Сильвестра, Пэли, Скарпи и т.п.).
Результаты. Рассматриваются обобщения матриц Адамара и Белевича на нечетные порядки в виде семейства квазиортогональных матриц, в частности, к ним принадлежат двухуровневые матрицы Мерсенна. Даны определения слоя и сечения на множестве всех обобщенных матриц. Приведены алгоритмы вычисления матриц соседствующих слоев и сечений по матрицам меньшего порядка. Приводятся примеры аппроксимации, вплоть до критичного порядка 22, структур матриц Белевича матрицей Мерсенна третьего порядка. Приводится новая формулировка модифицированного метода Скарпи аппроксимации матриц Адамара высоких порядков матрицами Мерсенна низких порядков. Метод Вильямсона раскрывается примером приближения модульно одноуровневых матриц матрицами с малым количеством уровней.
Практическая значимость. Обосновывается эффективность развиваемого направления для построения полосовых фильтров. Алгоритмы нахождения матриц Мерсенна методом Скарпи использованы при построении исследовательского программного комплекса. Субоптимальные по детерминанту матрицы составляют основу фильтров Мерсенна и применяются для сжатия и маскирования изображений.