УДК519.61:511-33

ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦ МЕРСЕННА И АДАМАРА МЕТОДОМ СКАРПИ

Балонин Н.А., Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б.


Читать статью полностью 

Аннотация

Постановка проблемы. Основные обобщения матриц Адамара связывают с матрицами максимального детерминанта или с не оптимальными по детерминанту матрицами с ортогональными столбцами (взвешенные матрицы, матрицы Мерсенна, Эйлера и т.п.); способы вычисления квазиортогональных матриц Мерсенна локального максимума детерминанта изучены недостаточно полно. Целью работы является развитие теории матриц Мерсенна и Адамара изучением обобщенного метода Скарпи.
Методы. Экстремальные решения ищутся, в общем, минимизацией максимума абсолютных значений элементов исследуемых матриц с последующей классификацией их по количеству и значениям уровней, зависящих от порядков. Менее универсальные, но более эффективные методы опираются на структурные инварианты квазиортогональных матриц (методы Сильвестра, Пэли, Скарпи и т.п.).
Результаты. Рассматриваются обобщения матриц Адамара и Белевича на нечетные порядки в виде семейства квазиортогональных матриц, в частности, к ним принадлежат двухуровневые матрицы Мерсенна. Даны определения слоя и сечения на множестве всех обобщенных матриц. Приведены алгоритмы вычисления матриц соседствующих слоев и сечений по матрицам меньшего порядка. Приводятся примеры аппроксимации, вплоть до критичного порядка 22, структур матриц Белевича матрицей Мерсенна третьего порядка. Приводится новая формулировка модифицированного метода Скарпи аппроксимации матриц Адамара высоких порядков матрицами Мерсенна низких порядков. Метод Вильямсона раскрывается примером приближения модульно одноуровневых матриц матрицами с малым количеством уровней.
Практическая значимость. Обосновывается эффективность развиваемого направления для построения полосовых фильтров. Алгоритмы нахождения матриц Мерсенна методом Скарпи использованы при построении исследовательского программного комплекса. Субоптимальные по детерминанту матрицы составляют основу фильтров Мерсенна и применяются для сжатия и маскирования изображений.


Ключевые слова: ортогональные матрицы, матрицы Адамара, матрицы Белевича, матрицы Мерсенна, числа Мерсенна, метод Скарпи, массив Вильямсона, защита видеоданных

Список литературы
 
1.     Мироновский Л.А., Слаев В.А. Стрип-метод преобразования изображений и сигналов. СПб: Политехника, 2006. 163 с.
2.     Ерош И.Л., Сергеев А.М., Филатов Г.П. О защите цифровых изображений при передаче по каналам связи // Информационно-управляющие системы. 2007. № 5. С. 20–22.
3.     Балонин Ю.Н., Востриков А.А., Сергеев М.Б. О прикладных аспектах применения М-матриц // Информационно-управляющие системы. 2012. № 1. С. 92–93.
4.     Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. Алгоритм и программа поиска и исследования М-матриц // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. № 3 (85). С. 82–86.
5.     Балонин Н.А., Сергеев М.Б. М-матрицы // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 14–21.
6.     Hadamard J. Résolution d'une question relative aux determinants // Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. V. 17. P. 240–246.
7.     Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5. С. 92–94.
8.     Балонин Н.А., Сергеев М.Б. О двух способах  построения матриц Адамара-Эйлера // Информационно-управляющие системы. 2013. № 1 (62). С. 7–10.
9.     Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6 (61). С. 90–93.
10.Scarpis U. Sui determinanti di valore Massimo // Rendiconti della R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. 1898. V. 31. P. 1441–1446.
11.Paley R.E.A.C. On orthogonal matrices // Journal of Mathematics and Physics. 1933. V. 12. P. 311–320.
12.Belevitch V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony // Electronic Communications. 1950. V. 26. P. 231–244.
13.Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87–90.
14.Williamson J. Hadamard’s Determinant Theorem and the Sum of Four Squares // Duke Math. J. 1944. V.11. P. 65–81.
15.Балонин Н.А., Сергеев М.Б. О расширении ортогонального базиса в задачах сжатия видеоизображений // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2014. № 2 (116). С. 11–15.
16.Востриков А.А., Балонин Ю.Н. Матрицы Адамара-Мерсенна как базис ортогональных преобразований в маскировании видеоизображений // Изв. вузов. Приборостроение. 2014. Т. 57. № 1. С. 15–19.
17.Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационно-управляющие системы. 2014. № 1 (68). С. 2–15.
18.Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Матрица золотого сечения G10// Информационно-управляющие системы. 2013. № 6 (67). С. 2–5.
19.Балонин Н.А., Сергеев М.Б. М-матрицы и кристаллические структуры // Вестник Магнитогорского государственного технического университета им. Г.И. Носова. 2013. № 3 (43). С. 58–62.


Creative Commons License

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License
Информация 2001-2019 ©
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики.
Все права защищены.

Яндекс.Метрика