Меню
Публикации
2023
2022
2021
2020
2019
2018
2017
2016
2015
2014
2013
2012
2011
2010
2009
2008
2007
2006
2005
2004
2003
2002
2001
Главный редактор
НИКИФОРОВ
Владимир Олегович
д.т.н., профессор
Партнеры
doi: 10.17586/2226-1494-2023-23-5-886-893
УДК 62.50
Метод поиска функции Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных систем с использованием генетического алгоритма
Читать статью полностью
Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования:
Аннотация
Ссылка для цитирования:
Зенкин А.М., Перегудин А.А., Бобцов А.А. Метод поиска функции Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных систем с использованием генетического алгоритма // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2023. Т. 23, № 5. С. 886–893. doi: 10.17586/2226-1494-2023-23-5-886-893
Аннотация
Введение. Рассмотрен широкий класс гладких непрерывных динамических нелинейных систем (объектов управления) с измеряемым вектором состояния. Поставлена задача поиска специальной функции (функции Ляпунова), которая в рамках второго метода Ляпунова гарантирует асимптотическую устойчивость для представленного класса нелинейных систем. Известно, что поиск функции Ляпунова является крайне сложной задачей, не имеющей универсального решения в теории устойчивости. Методы подбора или поиска функции Ляпунова для анализа устойчивости замкнутых линейных стационарных систем и для нелинейных объектов с явно выраженными линейной динамической и нелинейной статической частями хорошо изучены. Вместе с тем универсальных подходов к поиску функции Ляпунова для более общего класса нелинейных систем не выявлено. В работе предложен новый подход к поиску функции Ляпунова для анализа устойчивости гладких непрерывных динамических нелинейных систем с измеряемым вектором состояния. Метод. Сущность предлагаемого подхода состоит в представлении некоторой функции через сумму нелинейных слагаемых, являющихся возведенными в положительные степени элементами вектора состояния объекта, умноженными на неизвестные коэффициенты. Поиск этих коэффициентов осуществлен с использованием классического генетического алгоритма, включающего операции мутации, селекции и кроссовера. Найденные коэффициенты обеспечивают все необходимые условия для функции Ляпунова (в рамках второго метода Ляпунова). Подход на основе генетического алгоритма не требует обучающей выборки, которая накладывает ограничения в виде структуры объектов управления, включенных в нее. Основные результаты. Предложен новый метод поиска функции Ляпунова, представленной в виде нелинейного ряда с известными функциями, умноженными на неизвестные коэффициенты. Эффективность метода продемонстрирована с использованием компьютерных симуляций с фиксированным количеством итераций и изменяющимся размером популяции. Установлена зависимость количества успешно найденных функций Ляпунова от количества итераций генетического алгоритма. Выполнен анализ сходимости генетического алгоритма с использованием схем Холланда. Показано, что значения искомых коэффициентов потенциальной функции Ляпунова на каждой итерации алгоритма приближаются к коэффициентам функции Ляпунова, представленной в виде ряда Тейлора. Обсуждение. Предложенный метод превосходит известные аналоги по быстродействию, рассматривает разложение потенциальной функции Ляпунова в ряд Тейлора с неизвестными коэффициентами, вместо использования контрпримеров или шаблонных функций.
Ключевые слова: функция Ляпунова, математическая устойчивость, машинное обучение, генетический алгоритм, функция ценности, математический маятник
Благодарности. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 23-16-00224).
Список литературы
Благодарности. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 23-16-00224).
Список литературы
- Li X., Yang X. Lyapunov stability analysis for nonlinear systems with state-dependent state delay // Automatica. 2020. V. 112. P. 108674–108680. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2019.108674
- Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Strelbytsky yMultimedia Publishing, 2018. 545 с.
- Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 549 с.
- Wu Y., Xie X. A new analysis approach to the output constraint and its application in high-order nonlinear systems // Science China Information Sciences. 2023. V. 66. N 5. P. 159206. https://doi.org/10.1007/s11432-022-3572-7
- Иванов С.Е., Телевной А.Д. Численно-аналитический метод преобразований для анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. № 2. С. 97–109. https://doi.org/10.24143/2072-9502-2022-2-97-109
- Srivastava Y., Srivastava S., Chaudhary D., Blanco Valencia X.P. Performance improvement and Lyapunov stability analysis of nonlinear systems using hybrid optimization techniques // Expert Systems. 2022. P. e13140. in press. https://doi.org/10.1111/exsy.13140
- Giesl P., Hafstein S. Computational methods for Lyapunov functions // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B. 2015. V. 20. N 8. P. i-ii. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2015.20.8i
- Papachristodoulou A., Anderson J., Valmorbida G., Prajna S., Seiler P., Parrilo P., Peet M.M., Jagt D. SOSTOOLS Version 4.00 Sum of Squares Optimization Toolbox for MATLAB // arXiv. 2013. arXiv:1310.4716. https://doi.org/10.48550/arXiv.1310.4716
- Hernández-Solano Y., Atencia M. Numerical methods that preserve a Lyapunov function for ordinary differential equations // Mathematics. 2022. V. 11. N 1. P. 71. https://doi.org/10.3390/math11010071
- Hafstein S., Giesl P. Review on computational methods for Lyapunov functions // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B. 2015. V. 20. N 8. P. 2291–2331. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2015.20.2291
- Verdier C.F., Mazo M. Formal synthesis of analytic controllers for sampled-data systems via genetic programming // Proc. of the 2018 IEEE Conference on Decision and Control (CDC). 2018. P. 4896–4901. https://doi.org/10.1109/CDC.2018.8619121
- Ben Sassi M.A., Sankaranarayanan S., Chen X., Ábrahám E. Linear relaxations of polynomial positivity for polynomial Lyapunov function synthesis // IMA Journal of Mathematical Control and Information. 2016. V. 33. N 3. P. 723–756. https://doi.org/10.1093/imamci/dnv003
- Бородин И.Д. Метод статистического синтеза функции Ляпунова для исследования устойчивости искусственного спутника Земли // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2022. Т. 26. № 3(97). С. 14–23. https://doi.org/10.54708/19926502_2022_2639714
- Феофилов С.В., Козырь А.В., Хапкин Д.Л. Синтез гарантированно устойчивых нейросетевых регуляторов с оптимизацией качества переходного процесса // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. № 12. С. 128–133. https://doi.org/10.24412/2071-6168-2022-12-128-134
- Abate A., Ahmed D., Giacobbe M., Peruffo A. Formal synthesis of Lyapunov neural networks // IEEE Control Systems Letters. 2021. V. 5. N 3. P. 773–778. https://doi.org/10.1109/LCSYS.2020.3005328
- Lambora A., Gupta K., Chopra K. Genetic algorithm - a literature review // Proc. of the 2019 International Conference on Machine Learning, Big Data, Cloud and Parallel Computing (COMITCon). 2019. P. 380–384. https://doi.org/10.1109/COMITCon.2019.8862255
- Katoch S., Chauhan S.S., Kumar V. A review on genetic algorithm: past, present, and future // Multimedia Tools and Applications. 2021. V. 80. N 5. P. 8091–8126. https://doi.org/10.1007/s11042-020-10139-6
- Zenkin A.M., Peregudin A.A., Bobtsov A.A. Lyapunov function search method for analysis of nonlinear systems stability using genetic algorithm // arXiv. 2023. arXiv:2307.03030. https://doi.org/10.48550/arXiv.2307.03030
- Wright A. The exact schema theorem // arXiv. 2011. arXiv:1105.3538. https://doi.org/10.48550/arXiv.1105.3538
- Holland J.H. Adaptation in Natural and Artificial Systems: An Introductory Analysis with Applications to Biology, Control, and Artificial Intelligence. MIT Press, 1992. 232 p.
